2. Kolokvij

---

I. Električna struja i električni krugovi

1. Jakost električne struje

Definicija:
Jakost električne struje (simbolom I) predstavlja količinu električnog naboja Q koji prođe kroz poprečni presjek vodiča u jedinici vremena. Matematički se definira kao:

$$I = \frac{dQ}{dt}$$

gdje je:

• I – jakost struje u amperima (A),
• dQ – infinitesimalna količina naboja (u kulonima, C),
• dt – infinitesimalni interval vremena (u sekundama, s).

Veza s gustoćom električne struje:
Gustoća električne struje (J) opisuje koliko je struje koncentrirano unutar presjeka vodiča. Definira se kao:

$$\vec{J} = \frac{I}{S} \, \vec{n}$$

gdje je:

• S – površina poprečnog presjeka vodiča,
• $\vec{n}$ – jedinični vektor okomit na presjek.

Ova veza omogućava prelazak s makroskopskog opisa (ukupna struja) na mikroskopski opis (lokalna distribucija struje).

---

2. Ohmov zakon – integralni (makroskopski) oblik

Osnovni Ohmov zakon:
U linearnim otpornicima, Ohmov zakon povezuje napon (U ili V), struju (I) i otpornost (R):

$$U = I \, R$$

Integralni oblik:
Na mikroskopskoj razini, električni napon između dvije točke u vodiču može se izraziti kao linijski integral električnog polja $\vec{E}$ duž puta:

$$U = \int_{\text{put}} \vec{E} \cdot d\vec{l}$$

U homogenom mediju, koristeći lokalni oblik Ohmovog zakona $\vec{J} = \sigma \vec{E}$ (gdje je $\sigma$ električna vodljivost), te uz pretpostavku konstantne gustoće struje, otpor se može izraziti kao:

$$R = \frac{\rho \, l}{S} \quad \text{(s obzirom na $\rho = \frac{1}{\sigma}$)}$$

tako da se opet dobije makroskopski oblik $U = I\,R$.

---

3. Karakteristike izvora

Realni naponski izvor:

• Idealni naponski izvor osigurava konstantan napon $U_0$ bez obzira na opterećenje.
• Realni naponski izvor ima unutarnji otpor $r$. Njegova vanjska karakteristika opisuje se linearnom jednadžbom: $$U = U_0 - I\,r$$
  • Uvjet praznog hoda: kad nije spojeno opterećenje, tj. $I = 0$, napon je maksimalan $U = U_0$.
  • Uvjet kratkog spoja: kad je izlaz direktno spojen (idealno kratko), $U = 0$ te se maksimalna struja izračunava kao: $$I_{\text{k}} = \frac{U_0}{r}$$

Realni strujni izvor:

• Idealni strujni izvor održava konstantnu struju $I_0$ bez obzira na napon.
• Realni strujni izvor ima unutarnju paralelnu otpornost koja uzrokuje pad napona s povećanjem opterećenja. Njegova karakteristika može se zapisati (u inverznom obliku): $$I = I_0 - \frac{U}{R_{\text{in}}}$$ gdje je $R_{\text{in}}$ unutarnja impedancija izvora.

---

4. Radna točka izvora

Definicija:
Radna točka (ili radna karakteristika) predstavlja točku u kojoj se vanjska karakteristika izvora i karakteristika opterećenja (naponska krivulja opterećenja) susreću u U-I ravnini. U toj točki vrijedi:

$$U_{\text{rad}} = U_{\text{izvora}}(I_{\text{rad}}) \quad \text{i} \quad I_{\text{rad}} = I_{\text{opterećenja}}(U_{\text{rad}})$$

Grafički prikaz:

• Na grafikonu s naponom na ordinati i strujom na abscisama, karakteristika izvora (npr. $U = U_0 - I\,r$) je pravac, dok karakteristika opterećenja može biti dana zakonom Ohma za opterećenje $U = I\,R_{\text{op}}$.
• Radna točka je presjek tih dviju linija i označava stanje u kojem izvor i opterećenje djeluju zajedno.

---

5. Korisnost električnog kruga

Definicija korisnosti:
Korisnost (učinkovitost) električnog kruga ili izvora odnosi se na omjer snage koja se isporučuje korisnom opterećenju (P$_{\text{op}}$) prema ukupno dostupnoj snazi iz izvora (P$_{\text{izv}}$). Izražava se kao:

$$\eta = \frac{P_{\text{op}}}{P_{\text{izv}}} \times 100\%$$

Zašto nije moguće postići 100% korisnost:

• U svakom stvarnom krugu, dio energije se gubi zbog unutarnjeg otpora izvora, toplinskih gubitaka i drugih neidealnosti.
• Primjer: U naponskom izvoru s unutarnjim otporom $r$ i opterećenjem $R_{\text{op}}$, ukupna snaga se dijeli između opterećenja i gubitaka na $r$. Čak i kod optimalnog prenosa snage (kada je $R_{\text{op}} = r$), korisnost iznosi samo 50% jer je polovica snage disipirana u unutarnjem otporu.

Određivanje korisnosti u mrežama:

• U mrežama, posebno pri prijenosu električne energije, gubici nastaju i zbog prijenosnih vodova, transformatora, itd. Stoga se projektiraju sustavi s mogućnošću minimalizacije gubitaka, ali nikad se ne postiže idealna (100%) učinkovitost.

---

6. Teorem maksimalne snage

Izjava teorema:
Maksimalna snaga se prenosi na opterećenje kada je otpor opterećenja jednak unutarnjem otporu izvora:

$$R_{\text{op}} = r$$

Izvođenje i posljedice:

• Za naponski izvor s naponom $U_0$ i unutarnjim otporom $r$, snaga isporučena opterećenju je: $$P_{\text{op}} = I^2 R_{\text{op}} = \left(\frac{U_0}{r+R_{\text{op}}}\right)^2 R_{\text{op}}$$
• Analizom se može pokazati da je $P_{\text{op}}$ maksimalna kada je $R_{\text{op}} = r$. U tom slučaju, maksimalna snaga je: $$P_{\text{max}} = \frac{U_0^2}{4r}$$
• Ovaj teorem je vrlo važan u prilagođavanju opterećenja i dizajnu električnih sustava, osobito u komunikacijskim mrežama i prijenosu energije.

---

7. Metoda superpozicije

Osnovni princip:
U linearnim električnim mrežama (koje zadovoljavaju načelo homogenosti i superpozicije) ukupni odgovor (napon ili struja) u nekom dijelu mreže jednak je zbroju odgovora uzrokovanih svakim izvorom zasebno, dok se ostali izvori „isključe“:

• Za naponske izvore njihovo isključivanje postiže se zamjenom s kratkim spojem (jer idealni naponski izvor s nulom napona).
• Za strujne izvore njihovo isključivanje postiže se otvaranjem kruga (jer idealni strujni izvor s nulom struje).

Primjena:

• Prvo se analizira mreža s jednim aktivnim izvorom dok su ostali isključeni.
• Dobiveni naponi ili struje zbroje se (algebraički, uzimajući u obzir smjerove) kako bi se dobio konačni rezultat.

Prednost:

• Metoda pojednostavljuje analizu složenih mreža dijeleći problem na manje, jednostavnije dijelove.

---

8. Theveninov teorem

Izjava teorema:
Bilo koju linearnu dvopolnu mrežu, bez obzira na složenost, moguće je zamijeniti jednim ekvivalentnim naponskim izvorom $V_{\text{th}}$ u seriji s otporom $R_{\text{th}}$:

$$\text{Mreža} \quad \longleftrightarrow \quad V_{\text{th}} \,\, \text{u seriji s} \,\, R_{\text{th}}$$

Postupak određivanja:

1. Određivanje $V_{\text{th}}$:
   • Odredite napon između dva krajnja priključka kad je opterećenje isključeno (otvoreni krug).
2. Određivanje $R_{\text{th}}$:
   • Isključite sve idealne izvore:
     • Naponske izvore zamijenite kratkim spojem.
     • Strujne izvore zamijenite otvorenim krugom.
   • Izračunajte ekvivalentni otpor viđen s krajnjih priključaka.

Važnost:

• Theveninov teorem omogućava jednostavniju analizu i optimizaciju opterećenja, jer se složeni krugovi svode na jednostavnu dvopolnu mrežu.

---

II. Magnetizam i magnetska polja

9. Ampereov zakon

Matematička forma:
Ampereov zakon u integralnom obliku glasi:

$$\oint_{\mathcal{C}} \vec{B} \cdot d\vec{l} = \mu_0 \, I_{\text{encl}}$$

gdje je:

• $\vec{B}$ – magnetsko indukcijsko polje (u teslama, T),
• $d\vec{l}$ – infinitesimalni element puta duž zatvorene krivulje $\mathcal{C}$,
• $I_{\text{encl}}$ – ukupna struja koja prolazi kroz površinu omeđenu krivuljom,
• $\mu_0$ – magnetska permeabilnost vakuuma ($4\pi \times 10^{-7}\,\text{H/m}$).

Primjena – beskonačno dug vodič:
Za beskonačno dugi ravni vodič koji nosi struju $I$, simetrija nalaže da je $\vec{B}$ tangencijalno i jednako na svim točkama na kružnici radijusa $r$ centrirane oko vodiča. Tada:

$$B \, (2\pi r) = \mu_0 I \quad \Longrightarrow \quad B = \frac{\mu_0 I}{2\pi r}$$

Dodatni slučajevi:

• Za solenoide, toroid i druge geometrije, primjena Ampereovog zakona zahtijeva odabir odgovarajuće integracijske krivulje koja pojednostavljuje integral zahvaljujući simetriji.

---

10. Biot-Savartov zakon

Opći izraz:
Biot-Savartov zakon daje doprinos magnetskog polja $d\vec{B}$ u točki P uzrokovan elementarnom strujom $I\,d\vec{l}$:

$$d\vec{B} = \frac{\mu_0}{4\pi} \, \frac{I\,d\vec{l} \times \hat{r}}{r^2}$$

gdje je:

• $d\vec{l}$ – element duljine vodiča,
• $\hat{r}$ – jedinični vektor od elementa $d\vec{l}$ prema točki P,
• $r$ – udaljenost između $d\vec{l}$ i točke P.

Primjene:

• Ravni vod: Integracijom se dobije izraz sličan onom iz Ampereovog zakona.
• Kružna petlja: Magnetna indukcija u središtu kružne petlje polumjera $R$ je: $$B = \frac{\mu_0 I}{2R}$$
• Zavojnice: Za idealnu zavojnicu s $N$ namotaja, magnetsko polje u središtu je proporcionalno $N$.

---

11. Gaussov zakon za magnetizam

Izjava zakona:
Gaussov zakon za magnetizam glasi da je magnetski tok kroz bilo koju zatvorenu površinu uvijek nula:

$$\oint_{S} \vec{B} \cdot d\vec{S} = 0$$

gdje je:

• $d\vec{S}$ – element površine s orijentiranim normalnim vektorom.

Zaključak:

• Ne postoje izolirani izvori magnetskog polja (tj. magnetski monopoli).
• Svaki magnetski dipol ima "sjevernu" i "južnu" polarnost, a magnetske linije uvijek formiraju zatvorene petlje.

---

12. Magnetska sila na vodič

Formula za magnetsku silu:
Kada vodič kroz koji teče struja $I$ postavimo u homogeno magnetsko polje $\vec{B}$, sila koja djeluje na vodič dana je:

$$\vec{F} = I \, \vec{L} \times \vec{B}$$

gdje je:

• $\vec{L}$ – vektorski prikaz duljine vodiča u smjeru struje.

Za veličinu sile:
Ako je vodič dužine $L$ okomit na magnetsko polje:

$$F = I\,L\,B$$

a ako je kut između $\vec{L}$ i $\vec{B}$ $\theta$, tada:

$$F = I\,L\,B\,\sin\theta$$

---

13. Interakcija vodiča s magnetskim poljem

Kvadratna petlja:

• Kada se struja teče kroz zatvorenu petlju (npr. kvadratnu), svaka strana petlje osjeća silu. Ukupni učinak može se izraziti kao zakretni moment (moment sile) koji ima tendenciju okretanja petlje.

Zakretni moment:

• Za petlju površine $S$ u homogeno magnetskom polju, zakretni moment $\vec{M}$ definiran je kao:

  $$\vec{M} = I\,\vec{S}$$

  gdje je $\vec{S}$ vektor površine (smjer određen normalom na petlju, prema pravilu desne ruke).

• Veličina zakretnog momenta kad je kut između normale na petlju i $\vec{B}$ $\theta$ je:

  $$M = I\,S\,B\,\sin\theta$$

Smjer rotacije:

• Pravilo desne ruke koristi se za određivanje smjera zakretnog momenta: ako zaklopite prste u smjeru struje, palac pokazuje smjer vektora zakretnog momenta.

---

14. Induktivitet

Definicija:
Induktivitet (L) mjeri sposobnost električnog kruga (ili zavojnice) da inducira elektromotornu silu (EMF) kada se struja koja kroz njega teče mijenja. On se definira kroz vezu:

$$\varepsilon = -L\,\frac{dI}{dt}$$

gdje je:

• $\varepsilon$ – inducirani napon (EMF),
• $\frac{dI}{dt}$ – brzina promjene struje.

Induktivitet idealne zavojnice:
Za idealnu zavojnicu s $N$ namotaja, duljinom $l$ i presjekom $S$, induktivitet je:

$$L = \mu_0\,\mu_r\,\frac{N^2\,S}{l}$$

gdje je:

• $\mu_0$ – magnetska permeabilnost vakuuma,
• $\mu_r$ – relativna permeabilnost jezgre (za zrak je $\mu_r \approx 1$).

---

III. Elektromagnetska indukcija

15. Faradayev zakon elektromagnetske indukcije

Izjava zakona:
Promjena magnetskog toka kroz petlju inducira elektromotornu silu (EMF) u toj petlji. Matematički, Faradayev zakon glasi:

$$\varepsilon = -\frac{d\Phi}{dt}$$

gdje je:

• $\varepsilon$ – inducirani napon (EMF),
• $\Phi$ – magnetski tok kroz petlju, definiran kao: $$\Phi = \int_{S} \vec{B} \cdot d\vec{S}$$
• Negativni predznak označava smjer inducirane EMF prema Lenzovom zakonu.

Fizičko značenje:

• Ako se magnetski tok kroz petlju povećava, inducirani napon stvara struju koja svojim magnetskim poljem nastoji smanjiti tu promjenu (suprotstavlja se povećanju).
• Analogno vrijedi i za smanjenje magnetskog toka.

---

16. Lenzov zakon

Izjava zakona:
Lenzov zakon određuje smjer inducirane struje i kaže da inducirani tok teži uzrokovati stvaranje magnetskog polja koje se suprotstavlja promjeni magnetskog fluksa koja ga je izazvala.
Matematički je ugrađen u Faradayev zakon kroz negativni predznak:

$$\varepsilon = -\frac{d\Phi}{dt}$$

Primjer:

• Ako se magnetski tok kroz petlju povećava, inducirana struja će teći tako da stvara magnetsko polje suprotno smjeru izvornog polja, čime se pokušava "otporiti" promjeni.

---

17. Inducirani napon u pokretnoj petlji

Osnovni princip:
Kada se vodič ili petlja kreće unutar homogenog magnetskog polja, mijenja se magnetski tok kroz petlju, čime se inducira napon.

Primjer – pokretna pravokutna petlja:
Ako imamo pravokutnu petlju širine $L$ koja se kreće brzinom $v$ kroz homogeno magnetsko polje $B$ (gdje je $B$ usmjeren okomito na ravninu petlje), inducirani napon (EMF) duž jedne strane može se izraziti kao:

$$\varepsilon = B\,L\,v\,\sin\theta$$

gdje je:

• $\theta$ kut između brzine i magnetskog polja (najveći efekt postiže se pri $\theta = 90^\circ$).

Opći oblik:
Inducirani napon u bilo kojoj petlji uvijek se može izračunati primjenom Faradayevog zakona:

$$\varepsilon = -\frac{d}{dt} \int_{S(t)} \vec{B} \cdot d\vec{S}$$

gdje se površina $S$ petlje može mijenjati s vremenom (bilo promjenom orijentacije ili veličine).